Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對于任意的n∈N^*，恒又S_n=2a_n-n，
（1）求證數列{a_n+1}是等比數列；
（2）設cn=

2n

an•an+1

，試判斷數列{c_n}的單調性，并求數列{c_n}的最大項．

Answer 1

分析：（1）根據a_n=S_n-S_n-1，求得數列的遞推式，整理得a_n+1=2（a_n-1+1），進而判斷出{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
（2）利用（1）中的條件可以求得C_n，進而求得C_n-C_n-1＜0，進而判斷出數列{c_n}單調遞減．n=1時數列{c_n}的最大項．

解答：解：（1）當n=1時，S₁=2a₁-1，得a₁=1
∵S_n=2a_n-n，
∴當n≥2時，S_n-1=2a_a-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
（2）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*
cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

，cn+1-cn=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

-

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

=2×4n-2n

(2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1)

＜0
∴數列{c_n}單調遞減．∴n=1時數列{c_n}的最大項為c1=

2

3

點評：本題主要考查了等比關系的確定，考查了學生數列基本知識的掌握和應用．