Question

【題目】對于函數，若存在實數，使成立，則稱為的不動點.

（1）當，時，求的不動點；

（2）若對于任何實數，函數恒有兩相異的不動點，求實數的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上、兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）不動點是－1，2.（2）（3）

【解析】

（1）根據不動點定義,代入,,即可得一元二次方程,解方程即可求解.

（2）令,可得一元二次方程.根據有兩個相異的實數根,可知對應判別式.即可得關于的不等式.再由對于任意實數恒成立,可知對應判別式即可求得的取值范圍;

（3）根據題意可設,,即可求得直線的斜率.根據直線是線段的垂直平分線,可求得的值.設的中點為,由韋達定理可得,代入直線即可用表示出.結合基本不等式即可求得的取值范圍,即可得的最小值.

∵

（1）當,時,

設為其不動點,即.

則.

∴,.

即的不動點是－1,2.

（2）由得.由已知,此方程有相異二實根,

恒成立,即.

即對任意恒成立.

∴,

∴,

∴.

（3）因為的圖象上、兩點的橫坐標是函數的不動點,設,,

則

直線是線段的垂直平分線,

∴

記的中點.由（2）知,

∵在上,

∴.

化簡得

（當且僅當時,等號成立）.

即.

因為,所以

綜上可知

所以