Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，C= ．
（1）若△ABC的面積等于 ，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵c=2，C= ，c2=a2+b2﹣2abcosC

∴a2+b2﹣ab=4，

又∵△ABC的面積等于 ，

∴ ，

∴ab=4

聯立方程組 ，解得a=2，b=2

（2）解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，

∴sinBcosA=2sinAcosA

當cosA=0時， ， ， ， ，求得此時

當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，

聯立方程組 解得 ， ．

所以△ABC的面積

綜上知△ABC的面積

【解析】（1）先通過余弦定理求出a，b的關系式；再通過正弦定理及三角形的面積求出a，b的另一關系式，最后聯立方程求出a，b的值．（2）通過C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．當cosA=0時求出a，b的值進而通過 absinC求出三角形的面積；當cosA≠0時，由正弦定理得b=2a，聯立方程解得a，b的值進而通過 absinC求出三角形的面積．