Question

若{a_n}是公差d≠0的等差數列，通項為a_n，{b_n}是公比q≠1的等比數列，已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求d和q．
（2）是否存在常數a，b，使對一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立，若存在求之，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₂=1+d=b₂=q，a₆=1+5d=b₃=q²，解之即可；
（2）假設存在常數a、b滿足等式，可得（3-log_a4）n+log_a4-b-2=0，進而可得

3-loga4=0 loga4-b-2=0

，解之即可．

解答：解：（1）由題意可得a₂=1+d=b₂=q，a₆=1+5d=b₃=q²，
上述兩式聯立求解可得q=4，d=3．
（2）假設存在常數a、b滿足等式，
由a_n=1+（n-1）d=3n-2，b_n=q^n-1=4^n-1及a_n=log_ab_n+b
得（3-log_a4）n+log_a4-b-2=0，
∵n∈N^*，
∴

3-loga4=0 loga4-b-2=0

，
∴a=

3	4

，b=1，故存在．

點評：本題考查等差數列和等比數列的通項公式，涉及方程組的求解，屬基礎題．