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(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)定義:對(duì)函數(shù)y=f(x),對(duì)給定的正整數(shù)k,若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),則稱函數(shù)f(x)為“k性質(zhì)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=
1
x
是否為“k性質(zhì)函數(shù)”?說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
為“2性質(zhì)函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知函數(shù)y=2x與y=-x的圖象有公共點(diǎn),求證:f(x)=2x+x2為“1性質(zhì)函數(shù)”.
分析:(1)利用新定義可得x02+kx0+k2=0,從而可得△<0,方程無實(shí)數(shù)根;
(2)用新定義可得(a-5)
x
2
0
+4ax0+5a-5=0
,對(duì)參數(shù)a討論,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)由條件存在m使2m=-m,進(jìn)而作差可得f(x0+1)=f(x0)+f(1),由此可得結(jié)論.
解答:(1)解:若存在x0滿足條件,則
1
x0+k
=
1
x0
+
1
k
x02+kx0+k2=0,….(2分)
∵△=k2-4k2=-3k2<0,∴方程無實(shí)數(shù)根,與假設(shè)矛盾.
f(x)=
1
x
不能為“k性質(zhì)函數(shù)”.       ….(4分)
(2)解:由條件得:lg
a
(x0+2)2+1
=lg
a
x
2
0
+1
+lg
a
5
,….(5分)
a
(
x
 
0
+2)
2
+1
=
a2
5(
x
2
0
+1)
(a>0),化簡(jiǎn)得(a-5)
x
2
0
+4ax0+5a-5=0
,….(7分)
當(dāng)a=5時(shí),x0=-1;….(8分)
當(dāng)a≠5時(shí),由△≥0,16a2-20(a-5)(a-1)≥0,即a2-30a+25≤0,∴15-10
2
≤a≤15+10
2

綜上,a∈[15-10
2
,15+10
2
]
.….(10分)
(3)證明:由條件存在m使2m=-m,….(11分)
f(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2f(x0)+f(1)=2x0+
x
2
0
+3

f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2•2x0+
x
2
0
+2x0+1-2x0-
x
2
0
-3

=2x0+2x0-2=2[2x0-1+(x0-1)],….(14分)
令x0=m+1,則∵2m=-m,∴2x0-1+(x0-1)=0
∴f(x0+1)-f(x0)-f(1)=0
∴f(x0+1)=f(x0)+f(1),
∴f(x)=2x+x2為“1性質(zhì)函數(shù)”.….(16分)
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義,考查學(xué)生的計(jì)算能力,解題的關(guān)鍵是正確理解新定義,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知有相同兩焦點(diǎn)F1、F2的橢圓
x2
m
+y2=1(m>1)
和雙曲線
x2
n
-y2=1(n>0)
,P是它們的一個(gè)交點(diǎn),則△F1PF2的形狀是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足
PA
=-2
PM
,則
PA
•(
PB
+
PC
)
等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-sinθ,則該圓的半徑為
5
2
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知向量
a
=(2,m),若向量
b
=(-1,1)
,若
a
b
垂直,則m等于
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知α∈(
2
,2π),cotα=-2,則sinα
=
-
5
5
-
5
5

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