Question

如圖,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=.

(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)若側棱PC上的點F滿足PF=7FC,求三棱錐PBDF的體積.

Answer 1

(1)見解析   (2)

解析(1)證明:因為BC=CD,所以△BCD為等腰三角形,
又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.
因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
從而BD與平面PAC內兩條相交直線PA,AC都垂直,
所以BD⊥平面PAC.
(2)解:三棱錐PBCD的底面BCD的面積S_△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.
由PA⊥底面ABCD,得
=·S_△BCD·PA=××2=2.
由PF=7FC,得三棱錐FBCD的高為PA,
故=·S_△BCD·PA=×××2=,
所以=-=2-=.