Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，其左頂點A在圓O：x2+y2=16上．

（1）求橢圓W的方程；
（2）若點P為橢圓W上不同于點A的點，直線AP與圓O的另一個交點為Q．是否存在點P，使得 ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為橢圓W的左頂點A在圓O：x2+y2=16上，

令y=0，得x=±4，所以a=4．

又離心率為 ，所以 ，所以 ，

所以b2=a2﹣c2=4，

所以W的方程為 ．

（2）解：

法一：設點P（x1，y1），Q（x2，y2），設直線AP的方程為y=k（x+4），

與橢圓方程聯立得 ，

化簡得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0

因為﹣4為上面方程的一個根，所以 ，所以 ．

所以 ．

因為圓心到直線AP的距離為 ，

所以 ，

因為 ，

代入得到 ．

顯然 ，所以不存在直線AP，使得 ．

法二：

設點P（x1，y1），Q（x2，y2），設直線AP的方程為x=my﹣4，

與橢圓方程聯立得

化簡得到（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0．

顯然0是上面方程的一個根，所以另一個根，即 ．

由

因為圓心到直線AP的距離為 ，

所以 ．

因為 ，

代入得到 ，

若 ，則m=0，與m≠0矛盾，矛盾，

所以不存在直線AP，使得 ．

法三：假設存在點P，使得 ，則 ，得 ．

顯然直線AP的斜率不為零，設直線AP的方程為x=my﹣4，

由 ，得（m2+4）y2﹣8my=0，

由△=64m2＞0得m≠0，

所以 ．

同理可得 ，

所以由 得 ，

則m=0，與m≠0矛盾，

所以不存在直線AP，使得

【解析】（1）由題意求出a，通過離心率求出c，然后求解橢圓的標準方程．（2）法一：設點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），設直線AP的方程為y=k（x+4），與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出|AP|，利用垂徑定理求出|oa|，即可得到結果．
法二：設點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），設直線AP的方程為x=my﹣4，與橢圓方程聯立與橢圓方程聯立得求出|AP|，利用垂徑定理求出|oa|，即可得到結果．
法三：假設存在點P，推出 ，設直線AP的方程為x=my﹣4，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理，推出 ，求解即可．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．