Question

設是首項為a，公差為d的等差數列，是其前n項的和。記，其中c為實數。
（1）若，且成等比數列，證明：；
（2）若是等差數列，證明：。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

試題分析：
(1)根據題意時，可得，即得到通項，則可根據成等比數列，得到關系，從而將化為關于的式子.進而證明結論.
(2) 根據是等差數列,可設出,則有,將代入,化簡該式為樣式,通過令,建立方程組,可解得.則可討論出.
試題解析：
由題意可知.①
（1）由，得.
又因為成等比數列，所以，
即，化簡得.
因為，所以.因此對于所有的，①有.
從而對于所有的，有。
（2）設數列的公差為，則，
即，代入的表達式，整理得，對于所有的，
有.
令，
則對于所有的，有.（*）
在（*）式中分別取，得
，
從而有①，②， ③，
由②③得，代入方程①，得，從而.
即，。
若，則由，得，與題設矛盾，所以。
又因為，所以。項和,等比中項;化繁為簡的思想,等價代換的思想.