Question

設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列(d≠0)，是其前項和．記b_n=,
，其中為實數(shù)．
(1) 若，且，，成等比數(shù)列，證明：S_nk=n²S_k(k,n∈N⁺)；
(2) 若是等差數(shù)列，證明：．

Answer 1

(1)見解析
(2)見解析

(1)由題意知,S_n=na+d
∴時，b_n=,
∴b₁==a,b₂==a+,b₄==a+
成等比
∴b₁b₄=a(a+)="(" a+)² d=2ad
∵d≠0∴d=2aS_n=n²aS_nk=(nk)²a
又n²S_k=n²k²a∴S_nk=n²S_k
（2）由已知b_n==
是等差數(shù)列,設(shè)（k,b為常數(shù)）kn+b=
即對任意恒成立
也即2k－d=0,2b+d－2a=0,2ck=0,2bc=0
∵d≠0
∴k≠0c=0
此時k=,b=命題得證