Question

雙曲線的方程是-y²=1.
（1）直線l的傾斜角為,被雙曲線截得的弦長為，求直線l的方程;
（2）過點P（3，1）作直線l′，使其截得的弦恰被P點平分，求直線l′的方程.

Answer 1

1、y=x±5.
2、所求直線l′的方程為3x-4y-5=0.

（1）設直線l的方程為y=x+m，代入雙曲線方程,得
3x²+8mx+4(m²+1)=0,Δ=(8m)²-4×3×4(m²+1)=16(m²-3)＞0,
∵m²＞3.
設直線l與雙曲線交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點，
則x₁+x₂=-m,x₁x₂=，由弦長公式|AB|=|x₁-x₂|得
·=,∴=，即m=±5，∴直線l的方程為y=x±5.
（2）設與雙曲線交于A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂)兩點.點P（3,1）為A′、B′的中點，則x₁+x₂=6,y₁+y₂=2.由x₁²-4y₁²=4,x₂²-4y₂²=4,兩式相減得(x₁+x₂)(x₁-x₂)-4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0，∴=，∴l′的方程為y-1=(x-3)，即3x-4y-5=0.把此方程代入雙曲線方程，整理得5y²+10y+=0，∵Δ＞0,∴所求直線與雙曲線有兩個交點，即所求直線l′的方程為3x-4y-5=0.