Question

若過拋物線y²=4x焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，O為原點，且∠AOB=120°，則△AOB的面積為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），算出拋物線的焦點坐標，從而可設直線AB的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯解消去x可得y²-

4

k

y-4=0，利用根與系數的關系算出y₁y₂=-4，x₁x₂=1，再結合向量的數量積公式，即可得出結論．．

解答： 解：根據題意，拋物線y²=4x的焦點為F（1，0）．
設直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程消去x，得y²-

4

k

y-4=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根與系數的關系可得y₁y₂=-4，x₁x₂=1，
設|OA|=m，|OB|=n，則
∵∠AOB=120°，
∴

OA

•

OB

=mncos120°=-

1

2

mn，
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3，
∴mn=6，
∴△AOB的面積為

1

2

mnsin60°=

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

．

點評：本題考查拋物線定義與標準方程、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．