Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面平面，，在上.

（1）若點是的中點，求證：平面；

（2）在線段上確定點的位置，使得二面角的余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為線段的中點.

【解析】

（1）取的中點，連接，，易證平面，，取的中點，連接，，證明四邊形為平行四邊形后，再證明即可得證；

（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標后，設即可得，再表示出平面的法向量后即可得方程 ，解方程即可得解.

（1）證明：取的中點，連接，，

由可得，，

又 ，平面，，

取的中點，連接，，

由點是的中點可知四邊形為平行四邊形，，

又 ≌，，即，

又 平面，平面，，

平面.

（2）由平面平面可得平面，

以點為原點，建立如圖空間直角坐標系，設，

由已知得,

則可得，，，，

則，，

設平面的一個法向量為，

則，令則，

設，由可得點，

從而，，

設平面的一個法向量為，

則令可得，

，解得.

故當為線段的中點時，二面角的余弦值為.