Question

（本小題滿分14分）已知數列{a_n}中，（t>0且t≠1）．若是函數的一個極值點．
（Ⅰ）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）記，當t=2時，數列的前n項和為S_n，求使S_n>2008的n的最小值；
（Ⅲ）當t=2時，求證：對于任意的正整數n，有 。

Answer 1

解：分析：利用是函數的一個極值點求出與的關系式，從而加以證明第（1）問，而第（2）問的解決關鍵在于運用等比數列的求和公式，再利用函數的單調性得出n的最小值。第（3）問中先將拆項并求和，通過觀察與分析得出指數函數g（x）的表達式。
（Ⅰ）．由題意，即
，∴，
∵且，∴數列是以為首項，t為公比的等比數列，

以上各式兩邊分別相加得，∴，
當時，上式也成立，∴
（Ⅱ）當t=2時，


由，得，，
當，
因此n的最小值為1005．
（Ⅲ）∵
  

略