Question

注：此題選A題考生做①②小題，選B題考生做①②③小題.
已知圓C：，直線.
①求證：對任意，直線與圓C總有兩個不同的交點；
②當m=1時，直線與圓C交于M、N兩點，求弦長|MN|；
③設與圓C交于A、B兩點，若，求的傾斜角.

Answer 1

①見解析；②；③

解析試題分析：①法一：證明用點到直線的距離恒小于圓的半徑，（此法計算量較大，故通常不選用此方法）。法二：證直線恒過定點，且此頂點在圓內。②根據圓心和弦中點的連線垂直平分弦，應先求圓心到直線的距離再用勾股定理求弦長。③根據弦長可求圓心到直線的距離，即可求出直線的斜率，根據斜率可求得傾斜角。
試題解析：解：①∵直線恒過點，又∵點在圓C：
內，∴對，直線與圓C總有兩個不同的交點。（A：7分，B：5分）
②當m=1時，直線；圓心C(0,1)到直線的距離等于，又∵圓C的半徑為，∴弦長|MN| ；（A：14分，B：9分）
③∵，∴，又∵圓C的半徑為，∴圓心C(0,1)到直線的距離等于，∴,∴,∴,∴直線的傾斜角為。（B：14分）
考點：直線過定點問題，點到直線的距離公式，圓的弦長。