Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+3x2-9x．

（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值為-5，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-3）和（1，+）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1）；（II）[1，+）．

【解析】試題分析：

(1)首先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-3）和（1，+）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1）；

(2)利用題意分類討論可得c的取值范圍是[1，+）．

試題解析：

（I）f（x）=x3+3x2-9x的定義域是R，且f '（x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1）

令f '（x）=0，得x1=-3，x2=1，

f（x）與f '（x）在（-，+）上的情況如下：

x	（+,-3）	-3	（-3,1）	1	（1,+ ）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，-3）和（1，+）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1），

（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中結(jié)論可知：

當c≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值為f（1）=1+3-9 =-5；

當-4<c<1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，c]上的最小值大于-5，不合題意舍，

因此，c的取值范圍是[1，+）．