Question

【題目】已知函數，，對于不相等的實數、，設，，現有如下命題：

①對于任意不相等的實數、，都有；

②對于任意的及任意不相等的實數、，都有；

③對于任意的，存在不相等的實數、，使得；

④對于任意的，存在不相等的實數、，使得；

其中所有的真命題的序號是_______.

Answer 1

【答案】①④

【解析】

①根據函數單調性的定義來判斷是否正確. ②通過舉反例來判斷是否正確. ③通過構造函數，利用導數研究的單調性來判斷是否正確. ④通過構造函數，利用導數研究的單調性來判斷是否正確.

對于①，由于在上單調遞增，根據單調性的定義可知，對于任意不相等的實數、，都有，故①是真命題.

對于②，當時，，則，所以②是假命題.

對于③，若，則，即，即，令，由于，所以不是單調函數.令，得.令，則由解得，所以在上遞減，在上遞增，當時取得極小值也即是最小值，所以不滿足對任意實數成立.所以③錯誤.

對于④，若，則，即，即，令，由于，所以不是單調函數.令，得.令，則，所以在上單調遞減，值域為，所以滿足對任意實數成立.所以對于任意的，存在不相等的實數、，使得，所以④為真命題.

故答案為：①④