Question

設數列滿足a1=0，an+1=an+

an+ 1 4

+

1

4

，令bn=

an+ 1 4

．
（Ⅰ）證明數列{b_n}是等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比數列，試確定m，n的值．

Answer 1

分析：由已知可得an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

，即可得bn+1=bn+

1

2

，b1=

1

2

，可證
（Ⅱ）由（1）知an=

n2-1

4

，代入可得（m²-1）²=12（n²-1），結合左面是完全平方數，則n²-1可設為3k，
則n²=3k+1，檢驗可求k，進而可求m，n

解答：（I ）證明：∵a1=0，an+1=an+

an+ 1 4

+

1

4

∴an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

∴

an+1+ 1 4

2= (

an+ 1 4

+

1

2

)2
∵bn=

an+ 1 4

．
∴bn+1=bn+

1

2

，b1=

1

2

∴{b_n}是以

1

2

為公差，以

1

2

為首項的等差數列
由等差數列的通項公式可得，bn=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
（Ⅱ）解：由（1）知an=

n2-1

4

，
存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比數列
則3•

n2-1

4

=(

m2-1

4

)2，整理可得（m²-1）²=12（n²-1）
左面（m²-1）²是完全平方數，則12（n²-1）=4×3（n²-1）²也一定是完全平方數
∴n²-1可設為3k，k∈N^*，且k是完全平方數n≤10，
∴n²=3k+1
∴當k=1時，n=2，m不存在
當k=4時，n不存在
當k=9時，n不存在
當k=16時，m=5，n=7
綜上可得k=16時，m=5，n=7

點評：本題主要考查了利用構造證明等差數列，及等差數列的通項公式的應用，解答（II）要求考生具備一定綜合應用知識解決綜合問題的能力．