Question

已知函數f（x）=alnx+x²（a為實常數）．
（1）若a=-2，求證：函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（2）求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-2時f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0故函數 在（1，+∞）上是增函數．
（2）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負，故函數f（x）在[1，e]上是增函數．
若-2e²＜a＜-2，當x=

-a 2

時f'（x）=0，當1≤x＜

-a 2

時，f'（x）＜0，此時f（x）是減函數； 當

-a 2

＜x≤e時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數．
所以此時有最值．若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
（3）由題意可化簡得a≥

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），令g(x)=

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），利用導數判斷其單調性求出最小值為g（1）=-1．

解答：解：（1）當a=-2時，f（x）=x²-2lnx，當x∈（1，+∞），f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，
（2）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=-2，x=1時，f'（x）=0），故函數f（x）在[1，e]上是增函數，此時[f（x）]_min=f（1）=1．　
若-2e²＜a＜-2，當x=

-a 2

時，f'（x）=0；
當1≤x＜

-a 2

時，f'（x）＜0，此時f（x）是減函數；
 當

-a 2

＜x≤e時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數．
故[f（x）]_min=f(

-a 2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

．
若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=-2e²，x=e時，f'（x）=0），
故函數f（x）在[1，e]上是減函數，此時[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
綜上可知，當a≥-2時，f（x）的最小值為1，相應的x值為1；當-2e²＜a＜-2時，f（x）
的最小值為

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

，相應的x值為

-a 2

；當a≤-2e²時，f（x）的最小值為a+e²，
相應的x值為e．
（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]）
令g(x)=

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），又g′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g'（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數，
故g（x）的最小值為g（1）=-1，所以a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質及研究單調性與函數的最值，還考查求參數的范圍，解決此類問題的關鍵是分離參數后轉化為恒成立問題，即求新函數的最值問題，是近年高考考查的熱點．