Question

（2011•合肥三模）在△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=4，D為AC的中點，點E在邊AB上，且3AE=AB，BD與CE交于點G，則

AG

•

BC

=

-

4

5

．

Answer 1

分析：先DH∥AB交CE于H，利用三角形的相似得出BG=

4

5

BD，從而可表示出

AG

，進而可得

AG

•

BC

= 

3

5

AB

•

BC

+

2

5

BC

•

BC

，利用向量的數量積公式即可求得．

解答：解：作DH∥AB交CE于H，則DH為△AEC的中位線
∵3AE=AB，AB=6，
∴AE=2，
∴DH=

1

2

AE=1，
∵DH∥AB，∴

DH

BE

=

DG

BG

，所以BG=

4

5

BD
∵D為AC的中點，∴

BD

=

1

2

(

BA

+

BC

)
∴

BG

=

2

5

(

BA

+

BC

)
∴

AG

=

AB

+

BG

=

3

5

AB

+

2

5

BC

∴

AG

•

BC

= (

3

5

AB

+

2

5

BC

)•

BC

=

3

5

AB

•

BC

+

2

5

BC

•

BC

∵AB⊥AC，AB=6，AC=4
∴BC=2

13

，cos∠ABC=

3 13

13

∴

3

5

AB

•

BC

+

2

5

BC

•

BC

=-

3

5

×6×2

13

×

3 13

13

+

2

5

×52=-

4

5

∴

AG

•

BC

=-

4

5

故答案為：-

4

5

點評：本題以三角形為載體，考查向量的數量積運算，解題的關鍵是根據比例關系得出

AG

，從而可得

AG

•

BC

= 

3

5

AB

•

BC

+

2

5

BC

•

BC

．