Question

若圓C：x²+y²=1在矩陣A=

a   0 0   b

（a＞0，b＞0）對應的變換下變成橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判斷矩陣A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A^-1，如不可逆，說明理由．

Answer 1

考點：逆變換與逆矩陣,幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）設P（x，y）為圓C上的任意一點，在矩陣A對應的變換下變為另一個點P'（x'，y'），代入橢圓方程，對照圓的方程即可求出a和b的值；
（Ⅱ）因為|A|=

.

2 0 0 3

.

=2

3

≠0，所以矩陣A可逆，再代入逆矩陣的公式，求出結果．

解答： 解：（Ⅰ）設點P（x，y）為圓C：x²+y²=1上任意一點，經過矩陣A變換后對應點為P'（x'，y'），
則

a 0 0 b

x y

=

ax by

=

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

因為點P'（x'，y'）在橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1上，所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，…（2分）
又圓方程為x²+y²=1，故

a2 4 =1 b2 3 =1

，即

a2=4 b2=3

，
又a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．…（4分）
（Ⅱ）A=

2 0 0 3

，因為|A|=

.

2 0 0 3

.

=2

3

≠0，所以矩陣A可逆，…（5分）
所以A-1=

1 2 0 0 3 3

…（7分）

點評：本題主要考查了特殊矩陣的變換、逆變換與逆矩陣，同時考查了計算能力，屬于基礎題．