Question

已知橢圓＝1上任一點P，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，設點M在PQ上，且＝2，點M的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點D(0，－2)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，且滿足＝＋ (O為原點)，且四邊形OANB為矩形，求直線l的方程．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）y＝±2x－2.

【解析】(1)設點M(x，y)是曲線C上任意一點，

∵PM⊥x軸，且＝2，

所以點P的坐標為(x,3y)，

又點P在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，

因此曲線C的方程是＋y2＝1.

(2)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件，所以設直線l的方程為y＝kx－2，直線l與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點．

由得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

依題意Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)>0，得k2>(*)，

此時x1＋x2＝，x1x2＝.

因為＝＋，所以四邊形OANB為平行四邊形．

又四邊形OANB是矩形，所以·＝0，

即x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝0，

∴(1＋k2)·－2k·＋4＝0，

解之得k2＝4，∴k＝±2.滿足(*)式．

設N(x0，y0)，由＝＋，得

y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－4＝－，

從而點N在直線y＝－上，滿足題設，

故直線l的方程為y＝±2x－2.