Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲線即為函數y=f（x）的圖象，對于函數y=f（x），有如下結論：
①f（x）在R上單調遞減；
②函數F（x）=4f（x）+3x不存在零點；
③函數y=f（x）的值域是R；
④若函數g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，則函數y=g（x）的圖象就是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1確定的曲線．
其中所有正確的命題序號是（　　）

A．①②

B．②③

C．①③④

D．①②③

Answer 1

分析：根據x、y的正負去絕對值，將方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1化簡，得到相應函數在各個區間上的表達式，由此作出函數的圖象，再由圖象可知函數在R上單調遞減，且函數的值域為R，所以①③成立；根據F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x，再由函數圖象對應的曲線以y=±

3

4

x為漸近線，得到f（x）=-

3

4

x沒有實數根，因此②正確．根據曲線關于原點對稱的曲線方程的公式，可得若函數g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，則y=g（x）的圖象對應的方程是

x|x|

16

+

y|y|

9

=1，說明④錯誤．由此可得本題的答案．

解答：解：對于①，當x≥0且y≥0時，方程為

x2

16

+

y2

9

=-1，此時方程不成立．
當x＜0且y＜0時，方程為

x2

16

+

y2

9

=1，此時y=-3

- x2 16 +1

．
當x≥0且y＜0時，方程為

x2

16

-

y2

9

=-1，此時y=-3

x2 16 +1

．
當x＜0且y≥0時，方程為-

x2

16

+

y2

9

=-1，即y=3

x2 16 -1

．
因此作出函數的圖象，如圖所示
由圖象可知函數在R上單調遞減，所以①成立．
②由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．
因為雙曲線

x2

16

-

y2

9

=-1和-

x2

16

+

y2

9

=-1的漸近線為y=±

3

4

x，
所以函數y=f（x）與直線y=-

3

4

x無公共點，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零點，可得②正確．
對于③，根據①所作的圖象可知函數的值域為R，所以③正確．
對于④，若函數y=g（x）和y=f（x）的圖象關于原點對稱，
則用-x、-y分別代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=g（x）表達式，可得g（x）=-f（-x）
∴函數y=g（x）的圖象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1確定的曲線，
而不是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1確定的曲線，所以④錯誤
故選：D

點評：本題給出含有絕對值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質的幾個命題的真假．著重考查了含有絕對值的函數式的化簡、函數的圖象與性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．