Question

（本題15分）已知點是橢圓E：（）上一點，F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設A、B是橢圓E上兩個動點，（）．求證：直線AB的斜率為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

Answer 1

(1)  (2)根據已知的向量的坐標關系，結合點差法來得到直線的斜率。
(3)

試題分析：解：（Ⅰ）∵PF₁⊥x軸，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
橢圓E的方程為：；…………………4分
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 得
（x₁+1，y₁-）+（x₂+1，y₂-）=（1,- ），
所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=（2-）………①
又，，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+ 4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k=為定值； ……………9分
（Ⅲ）設直線AB的方程為y=x+t，
與聯立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0,   △=3（4-t²），
AB|=，
點P到直線AB的距離為d=,
△PAB的面積為S=|AB|×d=, ………10分
設f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16） （-2<t<2），
f’（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．
當t∈（-2,-1）時，f’（t）>0，當t∈（-1,2）時，f’（t）<0，f（t）=-1時取得最大值，
所以S的最大值為．此時x₁+x₂=-t=1=-2，=3． ………………15分
點評：解析幾何中的圓錐曲線的求解，一般運用待定系數法來求解，同時運用設而不求的思想來研究直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題。