Question

（2013•德州二模）已知f（x）為R上的可導函數，且對?x∈R，均有f（x）＞f′（x），則有（　　）

A．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）

B．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

C．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）

D．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

Answer 1

分析：根據題目給出的條件：“f（x）為R上的可導函數，且對?x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，結合給出的四個選項，設想尋找一個輔助函數g（x）=

f(x)

ex

，
這樣有以e為底數的冪出現，求出函數g（x）的導函數，由已知得該導函數大于0，得出函數g（x）為減函數，利用函數的單調性即可得到結論．

解答：解：令g(x)=

f(x)

ex

，則g′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

，
因為f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函數g（x）為R上的減函數，
所以g（-2013）＞g（0），
即

f(-2013)

e-2013

＞

f(0)

e0

，所以e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），

f(2013)

e2013

＜

f(0)

e0

，所以f（2013）＜e²⁰¹³f（0）．
故選C．

點評：本題考查了導數的運算，由題目給出的條件結合選項去分析函數解析式，屬逆向思維，屬中檔題．