Question

如圖，線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=5，點M是線段AB上一點，且

AM

=λ

MB

（λ＞0）．
（1）求點M的軌跡E的方程，并指明軌跡E是何種曲線；
（2）當λ=

2

3

時，過點P（1，1）的直線與軌跡E交于C、D兩點，且P為弦CD的中點，求直線CD的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x，y），A（a，0），B（0，b），由

AM

=λ

MB

，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），由a²+b²=25，得

x2

25 (1+λ)2

+

y2

25λ2 (1+λ)2

=1．若λ=1，則方程為x2+y2=

25

4

，軌跡為圓；若0＜λ＜1，則軌跡E表示為焦點在x軸上的橢圓；若λ＞1，則軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓．
（2）當λ=

2

3

時，軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1，利用點差法能求出直線CD的方程．

解答： 解：（1）設M（x，y），A（a，0），B（0，b），
由

AM

=λ

MB

，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），

x-a=-λx y=λ(b-y)

，從而

a=(1+λ)x b= (1+λ) λ y

，
由a²+b²=25，得

x2

25 (1+λ)2

+

y2

25λ2 (1+λ)2

=1．
①若λ=1，則方程為x2+y2=

25

4

，軌跡為圓；
②若0＜λ＜1，則軌跡E表示為焦點在x軸上的橢圓；
③若λ＞1，則軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓．
（2）當λ=

2

3

時，軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
設弦CD的斜率為k，代入作差，得：

x12-x22

9

-

y12-y22

4

=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，得k=-

4

9

，
∴直線CD的方程為y-1=-

4

9

（x-1），整理，得4x+9y-13=0．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．