Question

【題目】已知函數，若函數有6個不同的零點，則實數m的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】m＜﹣3

【解析】

令t=f（x），則原函數y等價為y=2t2+3mt+1﹣2m，轉化為一元二次函數和二次方程問題，結合函數f（x）的圖象，討論t的范圍，從而確定m的取值范圍．

令t=f（x），則原函數等價為y=2t2+3mt+1﹣2m，

作出函數f（x）的圖象如圖，

圖象可知：

當t＜0時，函數t=f（x）有一個零點；

當t=0時，函數t=f（x）有三個零點；

當0＜t＜1時，函數t=f（x）有四個零點；

當t=1時，函數t=f（x）有三個零點；

當t＞1時，函數t=f（x）有兩個零點．

要使關于x的函數y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6個不同的零點，

則方程2t2+3mt+1﹣2m=0有兩個根t1，t2，

且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，

令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，則由根的分布可得，

將t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，

此時2t2﹣9t+7=0的另一個根為t=，不滿足t1=0，t2=1，

若0＜t1＜1，t2＞1，則

即

解得m＜﹣3，

故答案為：m＜﹣3