Question

某商品在近30天內每件的銷售價格P（元）與時間t（天）的函數是：P=

t+20(0＜t＜25，t∈ N+)  -t+100(25≤t≤30，t∈ N+)

該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數關系是：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*），求這種商品的日銷售金額的最大值．

Answer 1

分析：先設日銷售金額為y元，根據y=P•Q寫出函數y的解析式，再分類討論：當0＜t＜25，t∈N₊時，和當25≤t≤30，t∈N₊時，分別求出各段上函數的最大值，最后綜合得出這種商品日銷售額的最大值即可．

解答：解：設日銷售金額為y元，則y=P•Q
y=

(t+20)(-t+40)，(0＜t＜25，t∈N+) (-t+100)(-t+40)，(25≤t≤30，t∈N+)

當0＜t＜25，t∈N₊時，
y=-t²+20t+800=-（t-10）²+900，
∴t=10時，y_max=900元．
當25≤t≤30，t∈N₊時，
y=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
∴t=25時，y_max=1125元．
綜上所述，這種商品日銷售額的最大值為1125元．

點評：本小題主要考查建立函數關系、分段函數等基礎知識，解決實際問題的首要步驟：閱讀理解，認真審題．本題的函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．