Question

某商品在近30天內每件的銷售價格P元與時間t天的函數關系是
P=

t+20，(0＜t＜25，t∈N+) -t+100，(25≤T≤30，t∈N+)

該商品的日銷售量Q件與時間t天的函數關系式是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N₊）．
（1）求這種商品的日銷售金額y關于時間t的函數關系式；
（2）求這種商品的日銷售金額y的最大值，并指出取得該最大值的一天是30天中的第幾天？

Answer 1

分析：（1）在解答時，應充分考慮自變量的范圍不同銷售的價格表達形式不同，分情況討論即可獲得日銷售金額y關于時間t的函數關系式；
（2）根據分段函數不同段上的表達式，分別求最大值最終取較大者分析即可獲得問題解答．

解答：解：
（1）由題意可知：y=

(t+20)(-t+40)，(0＜t＜25，t∈N+) (-t+100)(-t+40)，(25≤t≤30，t∈N+)

．
即y=

-t2+20t+800 amp;(0＜t＜25，t∈N+) t2-140t+4000 amp;(25≤t≤30，t∈N+)

（2）當0＜t＜25，t∈N₊時，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）時，y_max=900（元），
當25≤t≤30，t∈N₊時，y=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
而y=（t-70）²-900，在t∈[25，30]時，函數遞減．
∴t=25（天）時，y_max=1125（元）．
∵1125＞900，∴y_max=1125（元）．
故所求日銷售金額的最大值為1125元，且在最近30天中的第25天日銷售額最大．

點評：本題考查的是分段函數應用類問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、二次函數球最值得方法以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．