Question

【題目】已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸垂直．

（1）求的單調區間；

（2）設，對任意，證明：．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據導數的幾何意義，曲線在處的切線方程的斜率就是，寫出方程即可求得,因此，設，利用導數研究知當時，從而，當時，從而；（2）因為，要證原式成立即證成立，先證明：對任意，恒成立，再令，則恒成立，所以在上遞增，恒成立，即，即，即，而當時，有；當時，由①②式，，故時，成立.

試題解析：（1）因為，由已知得，∴．

所以，設，則，在上恒成立，

即在上是減函數，由知，當時，從而，

當時，從而．

綜上可知，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（2）因為，要證原式成立即證成立，

現證明：對任意，恒成立，當時，由（1）知成立；

當時，，且由（Ⅰ）知，∴．

設，則，當時，，當時，，所以當時， 取得最大值．

所以.即時，．

綜上所述，對任意，恒成立．①

令，則恒成立，所以在上遞增，

恒成立，即，即．

②當時，有；當時，由①②式，，

綜上所述，時，成立，故原不等式成立.