Question

設(shè)點F（

p

2

，0）（p為正常數(shù)），點M在x軸的負半軸上，點P在y軸上，且

MP

=

PN

，

PM

⊥

PF

．
（Ⅰ）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l過點F且與曲線C相交于不同兩點A，B，分別過點A，B作直線l₁：x=-

p

2

的垂線，對應(yīng)的垂足分別為A₁，B₁，求

FA1

•

FB1

的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記S1=S△FAA1，S2=S△FA1B1，S3=S△FBB1，λ=

S22

S1•S3

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b），由

MP

=

PN

可得，x=-a，y=2b，由

PM

⊥

PF

可得

PM

•

PF

=

pa

2

+b2=0，從而可求x，y滿足的方程
（2）由拋物線的定義可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
從而有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
則有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=

1

2

∠AFM+

1

2

∠BFM=90°
（3）設(shè)直線AB的方程為：x=ky+

p

2

  A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y2=2px x=ky+ p 2

整理可得y²-2pky-p²=0
則y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p²    x1x2=

y 2 1 y 2 2

2p•2p

=

p2

4

  x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ=

S22

S1•S3

=

( 1 2 A1B1• FM) 2

( 1 2 AA1•MA1)( 1 2 BB1•MB1)

代入整理可求

解答：解：（1）設(shè)N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b）
由

MP

=

PN

可得，x=-a，y=2b①
由

PM

⊥

PF

可得

PM

•

PF

=

pa

2

+b2=0②
①②聯(lián)立可得y²=2px（p＞0）
（2）由拋物線的定義可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
∴∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∴∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=

1

2

∠AFM+

1

2

∠BFM=90°
即FA₁⊥FB₁∴

FA1

•

FB1

=0
（3）設(shè)直線AB的方程為：x=ky+

p

2

  A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y2=2px x=ky+ p 2

整理可得y²-2pky-p²=0
則y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p²    x1x2=

y 2 1 y 2 2

2p•2p

=

p2

4

  x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ=

S22

S1•S3

=

( 1 2 A1B1• FM) 2

( 1 2 AA1•MA1)( 1 2 BB1•MB1)

=

p2(y1-y2)2

(x1+ p 2 )(x2+ p 2 )(-y1y2)

=

( y1+y2)2-4y1y2

p2(1+k2)2

=

4p2k2 +4p2

p2k2+p2

=4

點評：本題以平面向量向量的基本運算為載體，重點考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系等知識的綜合運用，解決本題（2）的關(guān)鍵是要熟練掌握拋物線的定義發(fā)現(xiàn)AF=AA₁，BF=BB₁，解決（3）時要注意設(shè)直線方程時為了避免討論斜率k的值是否存在，故可設(shè)直線AB的方程為：x=ky+

p

2