Question

橢圓mx²+ny²=1與直線y=1-x交于M、N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為

2

2

，則

m

n

的值為（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  2 2

  3

• C．

  9 2

  2

• D．

  2 3

  27

Answer 1

分析：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點P（x₀，y₀）．利用“點差法”即可得到m(

x

2 1

-

x

2 2

)+n(

y

2 1

-

y

2 2

)=0．又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，

y1-y2

x1-x2

=-1，kOP=

y0

x0

=

2

2

．即可得出．

解答：解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點P（x₀，y₀）．
由m

x

2 1

+n

y

2 1

=1，m

x

2 2

+n

y

2 2

=1，兩式相減得m(

x

2 1

-

x

2 2

)+n(

y

2 1

-

y

2 2

)=0．
又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴mx₀-ny₀=0，
∵kOP=

y0

x0

=

2

2

．
∴

m

n

=

y0

x0

=

2

2

．
故選A．

點評：本題中考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓相交問題轉化為“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．