Question

集合A={x|lnx-ax=0}恰有三個真子集，則a的取值范圍為

（0，

1

e

）

．

Answer 1

分析：集合A={x|lnx-ax=0}恰有三個真子集得出此集合中有兩個元素．令函數f（x）=0，然后轉化為兩個簡單函數圖象的兩個交點問題．

解答：解：集合A={x|lnx-ax=0}恰有三個真子集集合中有兩個元素，
即lnx-ax=0有兩個根，
在同一坐標系內分別作出函數y=lnx與y=ax的圖象，
易知兩函數圖象有且只有二個交點，
∵y=lnx，∴y′=

1

x

，
令y′=

1

e

，得

1

x

=

1

e

，x=e，
∴當直線y=ax與曲線y=lnx相切時，切點的坐標為（e，1），
此時切線的斜率a=

1

e

，
∵兩函數圖象有且只有二個交點，
由圖象得：a的取值范圍為（0，

1

e

）．
故答案為：（0，

1

e

）．

點評：本題考查集合的真子集個數問題，對于集合M的真子集問題一般來說，若M中有n個元素，則集合M的真子集共有（2ⁿ-1）個，本題還考查函數零點個數的確定方法--轉化為兩個簡單函數的圖象看交點的問題．是零點判定的常用方法之一．