Question

集合A={x|lnx-ax=0}恰有兩個子集，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：如圖所示．由于集合A={x|lnx-ax=0}恰有兩個子集，說明：集合A只含有一個元素．分類討論：當a=0時，由lnx=0，解得x即可；當直線y=ax與函數y=lnx相切時，設切點為P（x₀，y₀）．利用導數的幾何意義可得（lnx）′=

1

x

，a=

1

x0

．及利用y₀=ax₀，y₀=lnx₀，解得a=

1

e

．當a＜0時，直線y=ax與函數y=lnx的圖象相交，此時只有一個交點．當a＞0時，直線y=ax與函數y=lnx的圖象相交于兩個交點，即可得出．

解答：解：如圖所示．
∵集合A={x|lnx-ax=0}恰有兩個子集，
∴集合A只含有一個元素．
①當a=0時，lnx=0，解得x=1，∴A={1}滿足題意；
②當直線y=ax與函數y=lnx相切時，設切點為P（x₀，y₀）．
∵（lnx）′=

1

x

，∴a=

1

x0

．
又y₀=ax₀，y₀=lnx₀，解得a=

1

e

．
③當a＜0時，直線y=ax與函數y=lnx的圖象相交，此時只有一個交點．
④當a＞0時，直線y=ax與函數y=lnx的圖象相交于兩個交點，此時不符合題意，應舍去．
綜上可知：a的取值范圍為：（-∞，0]∪{

1

e

}．
故答案為：（-∞，0]∪{

1

e

}．

點評：本題考查了集合的意義、函數圖象的交點、分類討論、導數的集合意義等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．