Question

將各項均為正數的數列{a_n}排成如下所示的三角形數陣（第n行有n個數，同一行中，下標小的數排在左邊）．b_n表示數陣中，第n行、第1列的數．已知數列{b_n}為等比數列，且從第3行開始，各行均構成公差為d的等差數列（第3行的3個數構成公差為d的等差數列；第4行的4個數構成公差為d的等差數列，…），a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34．

（1）求數陣中第m行、第n列的數A（m，n）（用m、n表示）．
（2）求a₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）依題意，a₁₂為數陣中第5行、第2列的數；a₁₈為數陣中第6行、第3列的數．求出公差與公比，即可求數陣中第m行、第n列的數A（m，n）（用m、n表示）．
（2）a₂₀₁₄為數陣中第63行，第61列的數，即可求a₂₀₁₄的值．

解答： 解：（1）設{b_n}的公比為q．
依題意，a₁₂為數陣中第5行、第2列的數；a₁₈為數陣中第6行、第3列的數．
∴b₁=1，bn=qn - 1，a12=q4+d=17，a18=q5+2d=34．…（3分）
∴q=2，d=1，bn=2n - 1．
∴A(m ， n)=bm+(n-1)d=2 m - 1+n-1．         …（6分）
（2）由1+2+3+…+62=1953，1+2+3+…+62+63=2016，2013-1953=60知，a₂₀₁₄為數陣中第63行，第61列的數．
∴a₂₀₁₄=2⁶³+61．                       …（12分）

點評：本題是規律探究型題目，此題要發現各行的數字個數和行數的關系，從而進行分析計算．