Question

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線?∥P₁P₂，則稱?為弦P₁P₂的伴隨切線．特別地，當x₀=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1）時，又稱?為P₁P₂的λ-伴隨切線．
（ⅰ）求證：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有

1

2

-伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求f（x）的導數，再對參數a進行討論，利用導數函數值的正負情況研究原函數的極值；
（Ⅱ）設P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））是曲線y=f（x）上的任意兩點，要證明P₁，P₂有伴隨切線，只需證明存在點Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，使得f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，且點Q不在P₁P₂上．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a+

1

x

，x＞0（2分）
當a≥0（0，+∞），f'（x）＞0，函數f（x）在內是增函數，
∴函數f（x）沒有極值．（3分）
當a＜0時，令f'（x）=0，得x=-

1

a

．
當x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

∴當x=-

1

a

時，f（x）取得極大值f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)．
綜上，當a≥0時，f（x）沒有極值；
當a＜0時，f（x）的極大值為-1+ln(-

1

a

)，沒有極小值．（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）設P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））是曲線y=f（x）上的任意兩點，
要證明P₁，P₂有伴隨切線，只需證明存在點Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，
使得f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，且點Q不在P₁P₂上．（7分）
∵f′(x)=a+

1

x

，即證存在x₀∈（x₁，x₂），使得a+

1

x0

=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

，
即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，且點Q不在P₁P₂上．（8分）
以下證明方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內有解．
設F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．
則F（x₁）=x₁lnx₂-x₁lnx₁+x₁-x₂．
記g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，0＜x＜x₂，
∴g'（x）=lnx₂-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x₂）內是增函數，
∴F（x₁）=g（x₁）＜g（x₂）=0．（9分）
同理F（x₂）＞0．∴F（x₁）F（x₂）＜0．
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內有解x=x₀．（10分）
又對于函數g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，
∵0＜x₁＜x₀＜x₂，∴g（x₀）=x₀lnx₂-x₀lnx₀+x₀-x₂＜g（x₂）=0，
可知f′(x0)≠

f(x2)-f(x0)

x2-x0

，即點Q不在P₁P₂上．
又F（x）=（lnx₂-lnx₁）x+x₁-x₂在（x₁，x₂）內是增函數，
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內有唯一解．
綜上，曲線y=f（x）上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的
（ii）取曲線C：y=h（x）=x²，則曲線y=h（x）的任意一條弦均有

1

2

-伴隨切線，證明如下：
設R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
則K_RS=

y4-y3

x4-x3

=

x4 2-x3 2

x4-x3

=x4+x3
又h^'（x）=2x
所以h′(

x4+x3

2

)=x4+x3=kRS
即y=x²的任意一條弦均有

1

2

-伴隨切線

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值，是一道創新型題，屬于難度系數較大的題目．近幾年的高考命題，由知識立意向能力立意轉化，強化創新意識的考查，設計了一些“對新穎的信息、情景和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學數學知識、思想和方法，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性的解決問題”的創新題．