Question

【題目】在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于、兩點．

（1）已知，若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）滿足條件的直線存在，其方程為，詳見解析.

【解析】

（1）先得出點的坐標為，設，，直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式求出的面積關于的表達式，由此可得出面積的最小值；

（2）解法一：假設滿足條件的直線存在，其方程為，求出線段的中點的坐標，并計算出點到直線的距離以及以為直徑的圓的半徑長，然后利用勾股定理可計算出截以為直徑的圓所得弦長，結合弦長的表達式得出當時，弦長為定值，從而得出直線的方程；

解法二：假設滿足條件的直線存在，其方程為，求出以為直徑的圓的方程，將直線的方程與圓的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式計算出截以為直徑的圓所得弦長，結合弦長的表達式得出當時，弦長為定值，從而得出直線的方程.

（1）依題意，點的坐標為，

可設，，直線的方程為，

由得．

由韋達定理得，．

于是，

當時，；

（2）解法一：假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點、，的中點為，則，

點的坐標為，．

因為，

，，

，

令，得，此時為定值，

故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線；

解法2：假設滿足條件的直線存在，其方程為，設以為直徑的圓上任意一點為：，，，，則，

則以為直徑的圓方程為：，

化簡為：，

直線方程代入上述方程得

則

設直線與以為直徑的圓的交點為，，則有

令，得，此時為定值．

故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．