Question

以下三個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，K為非零常數，若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡是雙曲線．
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線-=1與橢圓+y²=1有相同的焦點．
④已知拋物線y²=2px，以過焦點的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準線相切
其中真命題為    （寫出所以真命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：根據雙曲線的定義，可判斷①的真假；解方程求出方程的兩根，根據橢圓和雙曲線的簡單性質，可判斷②的真假；根據已知中雙曲線和橢圓的標準方程，求出它們的焦點坐標，可判斷③的真假；設P為AB中點，A、B、P在準線l上射影分別為M、N、Q，根據拋物線的定義，可知AP+BP=AM+BN，從而 PQ=AB，所以以AB為直徑作圓則此圓與準線l相切．
解答：解：A、B為兩個定點，K為非零常數，若|PA|-|PB|=K，當K=|AB|時，動點P的軌跡是兩條射線，故①錯誤；
方程2x²-5x+2=0的兩根為和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故②正確；
雙曲線-=1的焦點坐標為（±，0），橢圓-y²=1的焦點坐標為（±，0），故③正確；
設AB為過拋物線焦點F的弦，P為AB中點，A、B、P在準線l上射影分別為M、N、Q，
∵AP+BP=AM+BN
∴PQ=AB，
∴以AB為直徑作圓則此圓與準線l相切，故④正確
故正確的命題有：②③④
故答案為：②③④
點評：本題④以拋物線為載體，考查拋物線過焦點弦的性質，關鍵是正確運用拋物線的定義，合理轉化，綜合性強．