Question

求值：
（1）已知cos(α-

β

2

)=-

4

5

，sin（β-

α

2

）=

5

13

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos

α+β

2

的值；
（2）已知tanα=4

3

，cos（α+β）=-

11

14

，α、β均為銳角，求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）利用角的變換(α-

β

2

)+(β-

α

2

)=

α+β

2

，確定α-

β

2

，β-

α

2

的范圍，求出相關三角函數值，即可求出cos

α+β

2

的值；
（2）根據α為銳角，tanα=4

3

求出sinα，cosα，借助cosβ=cos[（α+β）-α]展開，求出cosβ的值．

解答：解：（1）(α-

β

2

)+(β-

α

2

)=

α+β

2

，
∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

．
∴α-

β

2

∈(

π

4

，π)，β-

α

2

∈(-

π

2

，

π

4

)
∴sin(α-

β

2

)=

1-cos2(α- β 2 )

=

3

5

，cos(β-

α

2

)=

1-sin2(β- α 2 )

=

12

13

，
∴cos

α+β

2

=cos[(α-

β

2

)+(β-

α

2

)]=cos(α-

β

2

)cos(β-

α

2

)-sin(α-

β

2

)sin(β-

α

2

)
=(-

4

5

)×

12

13

-

5

13

×

3

5

=-

63

65

．
（2）∵tanα=4

3

，且α為銳角，
∴

sinα

cosα

=4

3

，即sinα=4

3

cosα，
又∵sin²α+cos²α=1，
∴sinα=

4 3

7

，cosα=

1

7

．
∵0＜α，β＜

π

2

，
∴0＜α+β＜π，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

5 3

14

．
而β=（α+β）-α，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=(-

11

14

)×

1

7

+

5 3

14

×

4 3

7

=

1

2

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的角的變換的技巧，根據三角函數角的范圍求出有關的三角函數的值，是本題解答的關鍵，考查計算能力．