Question

【題目】設為數列的前項和，對任意的，都有為常數，且．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）設數列的公比，數列滿足，)，求數列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求證：數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）（）；（3）證明過程見詳解.

【解析】

（1）先由題意求出；再由，即可證明數列是等比數列；

（2）由（1）的結果得到，，．

再由，得到進而可求出結果；

（3）先由（2）知，則,根據放縮法，與裂項相消，即可證明結論成立.

（1）證明：當時，，解得．

當時，．

即．

∵為常數，且，∴．

∴數列是首項為1，公比為的等比數列．

（2）解：由（1）得，，．

∵，

∴，即．

∴是首項為，公差為1的等差數列．

∴，即（）．

（3）證明：由（2）知，則,

所以，

當時，，

所以

．