Question

某大夏的一部電梯從底層出發后只能在第18、19、20層可以停靠．若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為

1

3

，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數，求：
（I）隨機變量ξ的分布列；
（II）隨機變量ξ的期望．

Answer 1

分析：（I）ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數，則ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，5．結合變量對應的事件和等可能性事件的概率公式得到變量的概率，寫出分布列．
（II）根據上一問做出的隨機變量的分布列，代入期望的計算公式，得到隨機變量的期望值．

解答：解：（I）由題意知ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數，
則ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，5．
由等可能性事件的概率公式得
P(ξ=0)=

25

35

=

32

243

．P(ξ=1)=

C 1 5 •24

35

80

243

．
P(ξ=2)=

C 2 5 •23

35

=

80

243

．P(ξ=3)=

C 3 5 •22

35

=

40

243

P(ξ=4)=

C 4 5 •2

35

=

10

243

P(ξ=5)=

1

35

=

1

243

∴ξ的分布列為

（II）由（I）得ξ的期望為
Eξ=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

40

243

+4×

10

243

+5×

1

243

=

405

243

=

5

3

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查用概率知識解決實際問題，是一個綜合題目，解題時注意格式要規范．