Question

某種電子玩具按下按鈕后，會出現紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現紅球與綠球的概率都是，從按鈕第二次按下起，若前次出現紅球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別為；若前次出現綠球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別為，記第n次按下按鈕后出現紅球的概率為P_n．
（1）求P₂的值；
（2）當n∈N^*，n≥2時，
①求用P_n-1表示P_n的表達式；
②求P_n關于n的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出第一次，第二次均出現紅球，則概率為：，第一次出現綠球，第二次出現紅球的概率為：，相加即得所求．
（2）①設第n-1次按下按鈕出現紅球的概率為：P_n-1，n∈N，n≥2，可得 出現綠球的概率為：1-P_n-1 ，則由題意可得P_n=+ （1-P_n-1 ）化簡求得結果．
②設 P_n+x=-（P_n-1+x），即 P_n=- P_n-1-． 令-=，解得 x=，故P_n-=- （P_n-1-），故{ P_n- }是等比數列，首項等于=，公比等于-，由此求得P_n關于n的表達式．
解答：解：（1）P₂是“第二次按下按鈕后出現紅球”．
若第一次，第二次均出現紅球，則概率為：=，
第一次出現綠球，第二次出現紅球的概率為：=，
故所求概率為：P₂=+=．
（2）①設第n-1次按下按鈕出現紅球的概率為：P_n-1，n∈N，n≥2，則出現綠球的概率為：1-P_n-1．
若第n-1次，第n次均出現紅球，其概率為：，
若第n-1次，第n次依次出現綠球，紅球，其概率為：（1-P_n-1），
∴P_n=+ （1-P_n-1 ）=-P_n-1，即P_n=-P_n-1，n∈N，n≥2．
②設  P_n+x=-（P_n-1+x），即 P_n=- P_n-1-．
令-=，解得 x=，∴P_n-=- （P_n-1-），
故{ P_n- }是等比數列，首項等于=，公比等于-．
∴= ，∴P_n=+．
點評：本題主要考查相互獨立事件的概率，互斥事件的概率加法公式的應用，等比關系的確定，等比數列的通項公式，屬于中檔題．