Question

下列命題：

①兩個平面垂直，過其中一個平面內一點作與它們交線垂直的直線，必垂直于另一個平面；

②兩個平面垂直，分別在這兩個平面內且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；

③兩平面垂直，分別在這兩個平面內的兩直線互相垂直.

其中假命題是_______.

Answer 1

解析：(1)若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的.如下圖(甲).正方體AC₁中，平面AC⊥平面AD₁，平面AC∩平面AD₁=AD，在AD上取點A，連結AB₁，則AB₁⊥AD即過棱上一點A的直線AB₁與棱垂直，但AB₁與平面ABCD不垂直，其錯誤的原因是AB₁沒有保證在平面ADD₁A₁內，可以看出線在面內這一條件的重要性.

甲

(2)該命題注意了直線在平面內，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如下圖(乙)，在正方體AC₁中，平面AD₁⊥平面AC，AD₁平面ADD₁A，AB平面ABCD，且AB⊥AD₁即AB與AD₁相互垂直，但AD₁與平面ABCD不垂直.

(3)如圖乙所示，正方體AC₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，AD₁平面ADD₁A₁，AC平面ABCD，AD₁與AC所成的角為60°,即AD₁與AC不垂直.

乙

答案：①②③