Question

判斷下列命題的真假

①兩個平面垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作與它們交線垂直的直線，必垂直于另一個平面；

②兩個平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；

③兩平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)的兩直線互相垂直.

Answer 1

解析：①若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的，如圖(1)，正方體AC₁中，平面AC⊥平面AD₁，平面AC∩平面AD₁=AD，在AD上取點A，連結(jié)AB₁，則AB₁⊥AD，即過棱上一點A的直線AB₁與棱垂直，但AB₁與平面ABCD不垂直，其錯誤的原因是AB₁沒有保證在平面ADD₁A₁內(nèi).可以看出：線在面內(nèi)這一條件的重要性.

②該命題注意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖(2)，在正方體AC₁中，平面AD₁⊥平面AC，AD₁平面ADD₁A₁,AB平面ABCD，且AB⊥AD₁，即AB與AD₁相互垂直，但AD₁與平面ABCD不垂直；③如圖(2)，正方體AC₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，AD₁平面ADD₁A₁，AC平面ABCD，AD₁與AC所成的角為60°，即AD₁與AC不垂直.

答案：①假  ②假  ③假