Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+cx（a＞0），其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線 x﹣6y+21=0垂直，導函數
f′（x）的最小值為﹣12．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在x∈[﹣2，2]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax3+cx的導數為f′（x）=3ax2+c，

其圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為k=3a+c，

切線與直線 x﹣6y+21=0垂直，可得3a+c=﹣6，

f′（x）的最小值為﹣12，即有c=﹣12，

解得，a=2，c=﹣12

（2）解：函數f（x）=2x3﹣12x的導數為f′（x）=6x2﹣12，

由f′（x）=0，可得x=± ，

由f（ ）=﹣8 ，f（﹣ ）=8 ，

f（﹣2）=8，f（2）=﹣8．

可得f（x）在[﹣2，2]的最大值為8 ，最小值為﹣8 ．

即有函數的值域為[﹣8 ，8 ]

【解析】（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，再由二次函數的最值求法，可得a，c的值；（2）求出導數，求得極值，以及端點處的函數值，即可得到值域．