Question

【題目】選修：坐標系與參數方程

已知曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程；

（Ⅱ）若曲線C經過伸縮變換后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+4y2=4， ，（t為參數）；（2）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)極坐標方程化簡直角坐標方程可得曲線C的直角坐標方程為（x﹣2）2+4y2=4，利用點的坐標和傾斜角可得直線的參數方程為，（t為參數）；

(Ⅱ)利用題意求得伸縮變換之后的方程，然后利用弦長公式可得弦長為 .

試題解析：

（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，

∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，

∵直線l過點M（1，0），傾斜角為，

∴直線l的參數方程為，即，（t是參數）．

（Ⅱ）∵曲線C經過伸縮變換后得到曲線C′，

∴曲線C′為：（x﹣2）2+y2=4，

把直線l的參數方程，（t是參數）代入曲線C′：（x﹣2）2+y2=4，

得：，

設A，B對應的參數分別為t1，t2，則t1+t2=，t1t2=﹣3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．