Question

【題目】設△ABC三個內角A、B、C所對的邊分別為已知

(1)求角B的大小；

(2)如圖，在△ABC內取一點P，使得PB=2，過點P分別作直線BA、BC的垂線PM、PN，垂足分別是M、N，設∠PBA=求四邊形PMBN的面積的最大值及此時的值.

Answer 1

【答案】（1）B（2）α時，四邊形PMBN的面積取得最大值．

【解析】

（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A＝B或A+B． 由于C，即可得出．

（2）由題設，在Rt△PMB中，PM＝2sinα；PN＝2cosα,得其面積；在Rt△PNB中，同理可得PN＝2sin（α），PM＝2cos（α）,α∈（0，）得其面積，進而得四邊形面積，利用恒等變換結合三角函數最值即可得出．

（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），

∴有A＝B或A+B．

又∵C，得A+B，與A+B矛盾，

∴A＝B，因此B．

（2）由題設，得在Rt△PMB中，PM＝PBsin∠PBM＝2sinα；PN＝PBcos∠PBM＝2cosα,則

同理，在Rt△PNB中，PN＝PBsin∠PBN＝PBsin（∠PBA）＝2sin（α），PM＝2cos（α）α∈（0，），

∴四邊形PMBN的面積

∵α∈（0，），∴2α∈（，），

于是，當2α，即α時，四邊形PMBN的面積取得最大值．