Question

（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．

（1）求這三條曲線的方程；

（2）已知動直線過點，交拋物線于兩點，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，；

（2）

。

【解析】本題主要考查圓錐曲線的定義、幾何性質以及靈活運用知識解決問題的能力。

解：（Ⅰ）設拋物線方程為，將代入方程得，

；

由題意知橢圓、雙曲線的焦點為；

對于橢圓，；

對于雙曲線，

（2）設的中點為，的方程為：，以為直徑的圓交于兩點，中點為

令

思路拓展：（1）求圓錐曲線的標準方程，往往要優先考慮運用定義、幾何性質；

（2）解答存在性問題，往往要先假定存在，然后利用已知條件，若能推出合理結果，則肯定能存在，否則，假設不成立，不存在。