Question

已知函數是定義在上的奇函數,當時, (其中e是自然界對數的底, )

(1) 求的解析式;

(2) 設，求證：當，時，；

（3）是否存在負數a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

,存在負數

解析:

解：（1）設，則，所以

又因為是定義在上的奇函數，所以 

故函數的解析式為  

（2）證明：當且時，，設

因為，所以當時，，此時單調遞減；

當時，，此時單調遞增，所以

  又因為，所以當時，，此時單調遞減，

所以

所以當時，即 

（3）解：假設存在負數，使得當時，有最小值是3，則

①當，由于，則，

故函數 是上的增函數．

所以，解得（舍去）

②當時，則

當時，，此時函數是減函數；

當時，，此時函數是增函數．

所以，解得滿足題意。

綜上可知，存在負數，使得當時，有最小值３