Question

（2011•西安模擬）已知函數f(x)=

1

4x+2

對于滿足a+b=1的實數a，b都有f(a)+f(b)=

1

2

．根據以上信息以及等差數列前n項和公式的推導方法計算：f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2011

2011

)=

1508

3

．

Answer 1

分析：利用函數f(x)=

1

4x+2

具有的性質，將代數式的首尾相加得到1005組值，再相加，最后求出f（1）的值加上即可．

解答：解：因為函數f(x)=

1

4x+2

對于滿足a+b=1的實數a，b都有f(a)+f(b)=

1

2

．
所以f(

1

2011

)+f(

2010

2011

)=

1

2

，
f(

2

2011

)+f(

2009

2011

)=

1

2

，
f(

3

2011

)+f(

2008

2011

)=

1

2

，
…
f(

1005

2011

)+f(

1006

2011

)=

1

2

相加得到
f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2010

2011

)=

1

2

×1005=

1005

2

，
又因為f(

2011

2011

)=f(1)=

1

6

所以f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2011

2011

)=

1005

2

+

1

6

=

1508

3

故答案為

1508

3

點評：本題考查根據數列是特殊的函數，根據函數具有的性質，來解決數列的和問題，利用的是倒序相加法，屬于基礎題．