Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-

3

4

．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）當c=2a，且b=3

7

時，求a及△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式左邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，開方即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由c=2a，利用正弦定理列出關系式，將sinC的值代入求出sinA的值，根據三角形ABC為銳角三角形，求出cosC與cosA的值，由sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，求出sinB的值，再由b，sinA的值，利用正弦定理求出a的值，進而求出c的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得1-sin²C=-

3

4

，
∴sin²C=

7

8

，
∵在△ABC中，sinC＞0，
∴sinC=

14

4

；
（Ⅱ）∵c=2a，∴sinA=

1

2

sinC=

14

8

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴cosC=

2

4

，cosA=

5 2

8

，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

14

8

×

2

4

+

5 2

8

×

14

4

=

3 7

8

，
由正弦定理可得

3 7

sinB

=

a

sinA

，即a=

3 7 × 14 4

3 7 8

=

14

，
∴c=2a=2

14

，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

14

×2

14

×

3 7

8

=

21 7

4

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．